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十七 伟力2（第1页）

极限c1ub伯克利后面呢？

快进到模型？真类？

可无限者并不满足于此，祂想自创一种大基数，来丰富那之间的间隙。

用哪种办法呢？

最简单的方法好比说对大基数排个序？令不可达基数＝1，弱紧致基数＝2，可测基数＝3，阶对阶基数＝4，极限c1ub伯克利基数＝5，由此延伸出更强的6号、7号大基数？

还是像某越基数那样，定义一个需要套公理支撑的大基数？

还是借鉴下莱茵哈特基数这位前辈，钦定存在一个强到大部分集合论公理系统都不能兼容的大基数，会引出o＝1或者其他形式的矛盾？

还是根据向下司寇伦定理，钦定存在一个越可数传递模型的大基数？

序列延伸？不可兼容？套公理？不可数模型？一致性强度？语言？反射原理？割裂于V？…

说白了，不管你用哪一种非主流方式来自创大基数，都会被冠以民科、不良定义之名。

祂觉得这很没意义，于是就不搞什么自创大基数了。

顺便再展列点被祂玩烂了的东西：

V是囊括世间万物的模型，即所有集合的真类，一切可能的集合都被容纳在内，由于V过于巨大也被称作是宇宙，前面提到过的、没有提到过的所有大基数皆是V的一部分。它的全名是冯·诺依曼万有宇宙，贴吧也有人叫它“终极V”。

最常见搭建万有宇宙的方式需要三个工具，即空集、取幂和序数逻辑，跨越所有极限，符号化展现为：

V?＝?，V?＝{?}，V?＝{?，{?}}，V?＝{?，{?}，{?，{?}}}……据V???＝p（V?）类推

V_＝V?uV?uV?u…uV?u……＝∪↓（k﹤）V?

注意“x↓（y）”的含义是“y为x的正下方下标。”

…

若a＝x+1，V_λ＝p（V?）；若a为极限序数，V_λ＝∪↓（k﹤λ）V?

则k跑遍所有序数V＝∪↓（?）V?

然后是格罗滕迪克宇宙，它是在ZF运算下封闭的一个类，实质是Vk，其中k是一个强不可达基数，在假设选择公理的情况下，Vk是ZFc的一个传递模型。

V?＝?；V_a+1=p（V_a），a为任意序数；

a为极限序数时，V_a=?_（a?b）V_b；

V=?_（a∈on）V_a，on是所有序数的类。

格罗滕迪克公理是“对任意集合x都存在一个宇宙u使得x∈u”，可以理解为对于每个序数都有比这个序数大的强不可达基数。

u＝Vk且u∈V；u具有无限集；若x∈u，y∈x，则y∈u；若x，y∈u，则{x，y}∈u；若x∈u，则po（x）∈u；I∈u，f:I→u，则?i∈If（i）∈u（族的合并是封闭的）。

真类宇宙有很多，除了万有宇宙V和格罗滕迪克宇宙之外，还有遗传序数可定义宇宙hod，可构造性宇宙L，正则基数宇宙Reg，序数宇宙on，良序集宇宙o，良基集宇宙F…

还有真类宇宙，像是集合论多元宇宙、复宇宙、脱殊复宇宙、……都是真类宇宙。什么是真类？真类汇聚成新的类被称作类，若是集宇宙的汇聚成的类就是真类。用层谱来解释的话，集合是V_ord中的成员，而类特指不是V_ord成员的类，若n为类则n不属于V_ord。真类居于高V_ord一个层谱的对象，可记作V_ord+1。类居于更高层谱的对象，可记作V_ord+2，真类则是特指不居于V_ord+1的类。

先来说集合论多元宇宙吧，它是由V（真类V）组成的类，即真类。集合论多元宇宙是由分歧集宇宙引出的，因力迫法导致的分歧使我们得到唯一的V，集合论多元宇宙容许分歧的存在，使得没有唯一一个绝对的宇宙V。在集合论多元宇宙中，不仅仅是因力迫法产生的分歧集宇宙，任何典范和非典范的内模型和存在、不存在的大基数（及其模型）均具有本体论的等价地位。而且与物理学的平行宇宙一样，同时存在拥有各自属于自己的连续统的值的集宇宙，容许了分歧从物理置于数学上“无限可能性”。

再来说复宇宙系列，复宇宙是一个由ZFc模型组成的非空类，它满足可数化公理、伪良基公理、可实现公理、力迫扩张公理、嵌入回溯公理。对于任意集合论宇宙V，可以作为集合论宇宙当且仅当是集合论模型且在V中可定义。对于任意集合论宇宙V，任意位于V内的力迫p，存在一个力迫扩张V[g]其中g?p为V-generico。对于任意集合论宇宙V都存在更高的宇宙且存在一个序数o满足V?o?，从比V更高的的角度来说V是可列的。存在一个集合论宇宙V且对任意集合论宇宙m，存在一个集合论宇宙以及中的一个ZFc模型，使得在看来m是一个由可数的非良基ZFc模型，那V便是复宇宙。

复复宇宙公理可以理解为，对于任何复宇宙都存在更完备的复宇宙，同理我们能构造出复复复宇宙、复复复复宇宙、……。该公理的内容是：存在一个复宇宙，且对任意复宇宙m存在一个复宇宙n以及n中的一个ZF，使得在n看来m是一个由可数的非良基的ZFc模型组成的复宇宙。

再说脱殊复宇宙，它拥有冯诺依曼宇宙的所有脱殊扩张形式，脱殊扩张是指把包含V-可定义的偏序集p上的脱殊滤子g加到V中产生一个新结构，V的脱殊扩张V[g]作为ZFc的模型。

令m为ZFnet∈V?，而n’=n[g]是n的脱殊扩张，则n’∈V?；若n∈V?，而n=n’[g]是n’的脱殊扩张，则n’∈V?；的最小模型类V?就是脱殊复宇宙，V?是包含m并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。脱殊复宇宙后面还有脱殊复复宇宙，在此不多讨论。

最后是逻辑多元（V-1ogic），V-1ogic具有常元符号aˉ、Vˉ、ˉ，aˉ表示V的元素，Vˉ表示V本身，ˉ来表示V的外模型。在一阶逻辑推理规则上添加以下规则，注意x↑（y）表示“y是x的正上方上标”，[a][b]表示一条横线把a、b两部分上下隔开：

1.[?b，b∈a，?（b↑（_））][1—?x∈a↑（_），?（x）]

2.[?a，b∈V，?（a↑（_））][1—?x∈V↑（_），?（x）]

公理：宇宙V是ZFc的一个模型；ˉ是ZFc的一个传递模型，包含Vˉ作为子集，并且与V有相同的序数。

采取一个遵守V-1ogic规则的公理模型，得到一个模拟ZFc的宇宙，V-1ogic中的这一理论是在没有加厚V的情况下提出的，实际上它是在V+=La（V）内定义的，由于采用了高度潜在主义后者有意义。将Imh用V-1ogic转写为以下形式：假设p是一个一阶句子，上述理论连同公理“ˉ满足p”在V-1ogic中一致，则p在V的一个内模型中成立。不直接谈论V的外模型，谈论以V-1ogic制定的理论的一致性，并在V+中定义使得满足宽度潜在主义，在可数模型上宽度完成主义和激进潜在主义等效。通过V-1ogic可得到V+（V-1ogic+ZFc模型）也就是逻辑多元V-1ogic足够广泛可包含各种外部。