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第733章 追不上的乌龟（第3页）

因为有理数定义为整数之比pq，所以它们之间的每一个空隙都是一条非零的线段。

这条线段里有无限多的代数无理数和越无理数，这些点的集合构成了数轴上一段非o却小于任意给定实数的长度。

“再多给你一点提示。”

李恒打了个响指道

“向着实数轴上扔一个理想的点状飞镖，它命中1的概率是o。”

“同样的，它命中自然数、有理数、代数无理数这些数量为可数无限的数的概率显然也是o。”

“不仅如此，就算是不可数无限也一样。”

“举个例子，刘维尔数集可以与实数集一一对应，它是一个不可数无限集合。”

“但刘维尔数集却是一个零测集，也就是说它在实数轴上占据的区域为o。”

“有限数，可数无限，不可数无限。”

“明明彼此之间有着天地之差，却都在数轴上占据着一块大小为o的区域。”

“点和线，这两个概念之间的差距比常人想象中的还要大得多，完全不是区区降维打击的程度。”

“从点的集合出，自下而上地去思考数轴的连续性，这种方法是没用的。”

“即使不可数无限数量的点组成的集合，也无法从没有大小的点跨越到有长度的线段。”

任一实数都对应数轴上唯一的一点，反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数。

于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应关系。

但是，如何从没有长度的点跨越到有长度的线段，这个过程其实是含糊不清的。

实数的数量是远比有理数更多的不可数无限，它们在数轴上比稠密的有理数更稠密。

但是，仅仅是引入一个比可数无限更大的不可数无限，并不能完成从点到线段的跨越。

阿基里斯凝神思索，回忆着两人从自然数世界开始一路走到现在的经历，逐渐有了思路。

应该反过来思考，从连续无缝的直线为起点，研究直线的无限可分性。

用有理数切割直线，可以得到无数个长度非o的无穷小线段。

这些线段的长度是潜在的无穷小，它们内部隐藏着的无理数填补了数轴上有理数之间的空隙。

到这里都没有什么不清晰的地方，用有理数切割直线得到的是无数条长度非o的无穷小线段。

这其实更符合现实计算中微积分的思想。

有限的人类不可能精确计算无理数，所有的无理数都只是用有理数去近似逼近。

实际计算中处理的无理数其实不是一个常数，而是一个变量，对应于数轴上的一个区间。

问题在于，实数模型后续又将十进制无限小数定义的无理数作为数轴上唯一确定的点，用无数的点去构成这些有着非o长度的无穷小线段。

究竟如何才能从没有长度的点跨越到有长度的线段，这一过程并不清晰明了。

如果，在戴德金分割的基础上更进一步。

既然可以用有理数作为刀刃去切割直线，那为什么不能用实数作为刀刃切割直线？

心中的想法渐渐成型，阿基里斯看向眼前白色数轴上数字1所在的位置。

“如果允许不为o的实无穷小存在，数轴上就有无数条长度比任何实数都小，却依旧不为o的线段。”

“每一个无理数都是一个已完成的实无限序列，但是，这些无理数之间依旧还藏着空隙。”

“阿基里斯即使走过了无限步，它也依旧追不上那只芝诺的乌龟！”

抬起的手掌终于斩下，目标正是数轴上的1。

存在实无穷小，那么o.99…≠1。

两者之间还有一条小于任何实数，却依旧长度不为o的实无穷小线段。